一、考试科目 数学分析
二、考试方式 闭卷、笔试
三、考试时间 120 分钟
四、试卷总分 150 分
五、参考书目 《数学分析》（上、下册），华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社，2019 年5 月第5 版。
六、考试基本要求 考生应按本大纲的要求，理解或掌握数学分析中的实数集与函数、数列与函数极限、函数连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学及级数敛散性的基本概念和基本理论；理解或掌握上述各部分的基本方法；理解各部分知识结构及知识的内在联系。考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用所学知识正确地推理和证明，准确地计算；能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决简单的实际问题。七、考试范围 - 2 - 第一章 实数集与函数 考试内容： 1．实数分类、实数的性质（四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性）、绝对值与不等式；2．区间、邻域、数集、确界原理；3．函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数； 4．有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。基本要求： 1．熟练掌握实数域及性质；2．掌握绝对值不等式； 3．熟练掌握邻域、上确界、下确界的概念以及确界原理； 4．牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。第二章 数列极限 考试内容： 1．数列极限的定义及其几何意义、无穷小数列；2．收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则； 3．单调有界定理、柯西收敛准则。基本要求： 1．理解数列极限的定义；2．理解收敛数列的若干性质，熟练掌握数列极限的计 - 3 - 算方法； 3．掌握数列收敛的条件（单调有界定理、柯西收敛准则等）。 第三章 函数极限 考试内容： 1．函数极限的概念，单侧极限及其与极限的关系；2．函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则；3．函数极限的归结原则、柯西准则；4．两个重要的极限； 5．无穷小量与无穷大量。基本要求： 1．熟练掌握函数极限的概念与计算方法；2．掌握函数极限的若干性质；3．掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则）；4．熟练应用两个重要的极限；5．掌握无穷小（大）量的定义、性质、阶的比较，掌握曲线渐近线的求法。 第四章 函数的连续性 考试内容： 1．函数在一点连续（左、右连续）及间断点的概念、间断点的分类； 2．连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则运算及复合函数的连续性； - 4 - 3．闭区间上连续函数的最大、最小值定理，有界性定理，介值性定理，根的存在定理，反函数的连续性、初等函数的连续性及一致连续性。 基本要求： 1．熟练掌握� (�)在�点连续的定义和等价定义；2．熟练掌握间断点及其分类；3．熟练掌握� (�)在一点连续性质及在区间上连续函数的性质； 4．熟练掌握初等函数的连续性。第五章 导数和微分 考试内容： 1．导数定义、单侧导数、导数的几何意义、导函数；2．导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数；3．微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、近似计算与误差估计； 4．高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。基本要求： 1．熟练掌握导数的定义，理解几何、物理意义；2．掌握并熟练应用求导法则、求导公式；3．会求各类函数（复合函数、参变量函数、隐函数、幂指函数）的导数和部分函数的高阶导数（莱布尼茨公式）；4．掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；5．掌握一元函数连续、可导、可微之间的关系；6. 掌握费马定理，稳定点与极值点的关系。 - 5 - 第六章 微分中值定理及应用考试内容： 1．罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2．各个类型不定式极限；3．函数的单调性与极值；4．函数的凸凹性与拐点；5．函数图象的讨论。 基本要求： 1．熟练掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理； 2．会运用洛必达法则求极限；3．会求函数的单调区间、极值等；4．掌握凸函数概念及性质，利用导数定义判定凹凸性及拐点。 第八章 不定积分 考试内容： 1．原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算法则； 2．第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法；3．有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无理函数的积分。 基本要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，熟练运用基本积分公式； - 6 - 2．熟练掌握换元积分法、分部积分法；3．掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。 第九章 定积分 考试内容： 1．定积分的定义、函数的可积条件（必要条件，可积准则，可积函数类（三个充分条件））；2．定积分的线性性质、区间的可加性、单调性、绝对可积性等性质，积分中值定理；3．变上限积分函数概念与性质，牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法。 基本要求： 1．掌握定积分定义、性质、可积条件，会用定积分的定义进行一些数列极限的计算；2．熟练掌握微积分基本定理、积分中值定理，并能够加以应用； 3．能够熟练计算定积分；4．掌握定积分的变换及其一定的应用。第十章 定积分应用 考试内容： 1．平面图形的面积； 2．由截面面积求立体体积、旋转体体积；3．曲线的弧长； 4．旋转曲面的面积； - 7 - 5．微元法思想及应用。 基本要求： 1．能熟练计算各种平面图形面积；2．会由截面面积求立体体积，以及旋转体的体积；3．会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。第十二章 数项级数 考试内容： 1．数项级数收敛、发散、和的概念，柯西准则，收敛级数的性质； 2．正级数的收敛原则、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法； 3．交错级数及其它一般级数绝对收敛、条件收敛与发散的概念与性质。 基本要求： 1．掌握数项级数敛散的定义、性质；2．熟练掌握正项级数的敛散性判别法；3．掌握交错级数收敛的差别，了解其它一般级数绝对收敛、条件收敛与发散的概念与性质。第十三章 函数列与函数项级数考试内容： 1．函数列的收敛与极限函数、函数项级数收敛与和函数、函数列与函数项级数的一致收敛性、一致收敛柯西准则、M 判别法； 2．函数列与函数项级数在一致收敛性条件下极限函数 - 8 - 与和函数的连续性、可积性（逐项积分）、可微性（逐项微分）。 基本要求： 1．理解函数列及函数项级数的收敛与一致收敛定义；2．掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法；3．掌握函数列的极限函数、函数项级数的和函数的性质。 第十四章 幂级数 考试内容： 幂级数、阿贝尔定理、收敛半径和收敛域、内闭一致收敛性、和函数的连续性、可积性（逐项积分）、可微性（逐项微分）。 基本要求： 1．熟练掌握幂级数收敛域，收敛半径及和函数的求法；2．了解幂级数的若干性质；3．了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的方法，会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。第十五章 傅里叶级数 考试内容： 三角级数、三角函数系的正交性、收敛定理、以2π为周期的函数的傅立叶级数展开式，以及其特殊的正弦或余弦级数展开式。 基本要求： 1．熟记傅里叶系数公式，并会求以2π为周期的傅立叶 - 9 - 级数； 2．会求以 2π为周期的函数的正弦或余弦级数展开式。第十六章 多元函数极限与连续考试内容： 1．平面点集的邻域、内点、外点、界点、聚点、孤立点，开集、闭集、开域、闭域、区域；2．二元函数的概念及几何表示、任意多元函数的概念；3．二元函数的极限（重极限、累次极限）的概念、性质、求法及关系； 4．二元连续函数连续，闭域上连续函数的性质。基本要求： 1．了解平面点集的若干概念；2．掌握二元函数重极限与二次极限的定义、性质，以及二者的关系；会求二元函数的极限；3．掌握二元连续函数定义，闭域上连续函数的性质。第十七章 多元函数微分学考试内容： 1．多元函数的可微性、偏导数概念、几何意义、求法；2．多元复合函数的偏导数及全微分；3．空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。基本要求： 1．熟练掌握多元函数的可微、偏导数的概念、求法，掌握二元函数连续、可微、偏导数以及偏导函数连续等概念之间关系； - 10 - 2．会计算多元函数的二阶、三阶偏导数；3．掌握空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。 第十八章 隐函数定理及其应用考试内容： 1．隐函数概念、隐函数的导数求法；2．条件极值概念、会应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。 基本要求： 1．理解由一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，掌握隐函数的导数（偏导）求法；2．掌握条件极值的拉格朗日乘数法。第二十章 曲线积分 考试内容： 1．第一型曲线积分的计算；2．第二型曲线积分的计算。基本要求： 1．掌握两类曲线积分的概念及计算；2．了解两类曲线积分的性质。第二十一章 重积分 考试内容： 1．二重积分概念、可积条件、性质；2．二重积分化为累次积分的计算方法、二重积分的极坐标变换法； - 11 - 3．格林公式、曲线积分与路线的无关性；4．三重积分概念、性质；5．三重积分化为累次积分的计算方法、三重积分换元法（柱面坐标变换、球面坐标变换）。基本要求： 1．理解二重积分、三重积分定义与性质；2．熟练掌握二重积分的计算；3．掌握格林公式的应用、曲线积分与路线的无关性定理的应用； 4．较熟练掌握三重积分的计算。第二十二章 曲面积分 考试内容： 1．第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念、性质及计算； 2．高斯公式与斯托克斯公式的应用。基本要求： 1．掌握两类曲面积分的概念及计算；2．了解两类曲面积分的性质；3．理解两类曲面积分的关系；4．掌握高斯公式和斯托克斯公式并会应用。
